Prédimensionner : de la spec aux premières cotes
La puissance d'un moteur ne dit rien de sa taille. Le couple, lui, la fixe presque entièrement. Cette page déroule la chaîne complète — d'un cahier des charges à un diamètre, une longueur, un nombre de pôles, une structure, puis aux quatre paramètres qui alimentent toute la famille Commande. Tous les paramètres sont modifiables : la page entière se recalcule.
La machine — tous les paramètres sont éditables
Machine de traction générique à chiffres ronds, de l'ordre de grandeur d'une compacte électrique. Elle ne correspond à aucun produit du commerce. Changez n'importe quelle valeur : les six calculateurs de la page suivent.
Ce qui fixe la taille, c'est le couple
Deux moteurs de 100 kW peuvent différer d'un facteur cent en volume. Ce qui les sépare n'est pas leur puissance — c'est la vitesse à laquelle ils la délivrent, donc le couple qu'ils doivent produire.
Même puissance, trois moteurs
La puissance est figée. Seule la vitesse change. Le couple requis varie en 1/ω — et le volume du rotor le suit exactement. Les trois silhouettes grises sont des repères fixes à 300, 3000 et 30 000 tr/min ; la teal est votre point courant.
L'équation de prédimensionnement
Tout part d'une force tangentielle répartie sur la surface du rotor. Cette force, multipliée par le rayon, donne le couple :
Et la contrainte tangentielle σ se décompose à son tour en deux facteurs, qui sont les deux vraies limites physiques d'une machine. Dans le cas idéal d'une nappe de conducteurs uniforme plongée dans un champ uniforme :
B̄, c'est ce que le fer et les aimants peuvent porter — plafonné par la saturation, autour de 0,8 à 1 T dans l'entrefer. A, la charge linéique, c'est ce que le cuivre et le refroidissement peuvent encaisser — en ampères par mètre de circonférence. L'une est une limite de matériau, l'autre une limite thermique. Tout le métier de la conception tient dans leur produit.
Choisir σ, et tout le reste suit
Une seule constante encapsule la technologie entière : les matériaux, le bobinage, et surtout le refroidissement. Choisir sa classe de machine, c'est choisir σ — et σ varie sur deux ordres de grandeur.
Contrainte tangentielle par classe de machine
Valeurs en régime continu, d'après Soong (Université d'Adélaïde), lui-même appuyé sur Miller (1989). Cliquez une ligne pour l'appliquer.
| Classe de machine | σ (kPa) |
|---|---|
| Industriel fermé < 1 kW | 0,7 – 2 |
| Industriel fermé > 1 kW | 4 – 15 |
| Servos haute performance | 10 – 20 |
| Aéronautique | 20 – 35 |
| Très grandes machines, refroidies liquide | 70 – 100 |
| Traction automobile, en crête — calculé plus bas | ≈ 100 |
Attention au piège. Les cinq premières lignes sont des valeurs continues. La dernière est une valeur crête. Confondre les deux fait surestimer d'un facteur trois — on y revient juste après.
De la spec aux cotes
La coupe se redessine à chaque modification. Le rotor en ambre, la couronne d'encoches en indigo, la culasse en gris.
L'exercice inverse : que vaut σ sur un vrai moteur de traction ?
La table ci-dessus n'a pas de ligne « traction automobile ». Elle date d'une époque où la question ne se posait pas, et la littérature de dimensionnement raisonne en continu. On peut néanmoins la calculer, en prenant une machine dont la géométrie est publiée. Le moteur de la Toyota Prius de 3ᵉ génération est la référence la plus étudiée de la littérature :
Géométrie publiée
Alésage stator 161,9 mm
Diamètre rotor 160,4 mm
Entrefer 0,75 mm
Longueur active 50 mm
8 pôles, 48 encoches
Contrôle de cohérence
(161,9 − 160,4)/2 = 0,75 mm
exactement l'entrefer annoncé. Les deux diamètres sont donc mutuellement cohérents — ce ne sont pas des chiffres rapportés de sources différentes.
Le calcul
Vrotor = 1,01 litre
Couple crête 207 N·m
→ σ = 102 kPa
102 kPa dépasse la ligne « très grandes machines refroidies liquide ». Ce n'est pas une anomalie, c'est une différence de définition : un moteur de voiture est spécifié en crête. Il ne tient son couple maximal que quelques dizaines de secondes, en vivant sur son inertie thermique — pas en régime établi.
Hypothèse : avec un rapport crête/continu de 2 à 3, le σ continu de cette machine retomberait à 34 à 51 kPa, entre l'aéronautique et les grandes machines refroidies liquide. C'est une hypothèse, pas une mesure.
Ce qui a été mesuré. Aux essais d'Oak Ridge (ORNL), ce moteur a tenu 25 kW à 5000 tr/min en continu, soit 47,7 N·m et σ ≈ 24 kPa, avec un stator stabilisé vers 123 °C pour un liquide à 50 °C. Ce chiffre ne donne pas pour autant un rapport crête/continu : 5000 tr/min est bien au-delà de la vitesse de base (60 kW / 207 N·m, soit environ 2800 tr/min), donc le moteur y est en défluxage. Et 123 °C dépasse la consigne d'environ 100 °C citée par ORNL d'après le manuel d'atelier.
Le volume ne suffit pas
Le couple fixe un volume, pas une forme. Deux arbitrages restent entiers : l'élancement du rotor, et la part du diamètre laissée au cuivre.
Le rapport D/L, à volume constant
Le volume est figé : la silhouette s'étire mais le couple ne bouge pas. Ce qui change, c'est tout le reste — l'inertie varie en D⁴L, donc un rotor large est un rotor lent à accélérer. En servo, c'est ce critère qui tranche, pas le couple.
Le rapport d'alésage
À diamètre extérieur d'encoches fixé, agrandir le rotor augmente son volume mais réduit la place laissée au cuivre — donc la charge linéique. Il existe un optimum, et il se démontre en une ligne. Mais où il tombe dépend de ce qu'on fixe : la densité de courant, ou les pertes cuivre qu'on sait évacuer.
Selon l'hypothèse, l'optimum va de 0,58 à 0,75. Soong donne 2/3 et 1/√2 : son second cas revient en fait à fixer les pertes cuivre. Dans les quatre cas, l'optimum est plat : environ ±0,1 autour de lui, on garde plus de 95 % du couple maximal. C'est une vraie marge de conception — on peut la dépenser pour loger un arbre plus gros ou réduire l'inertie.
Hypothèses : dents fines dans le cas « dents parallèles », têtes de bobines négligées. d est le rapport des diamètres intérieur et extérieur des encoches, pas l'alésage rapporté au diamètre extérieur du stator : sur la Prius, d = 0,72 alors que D/Dext = 0,61.
Le nombre de pôles
Monter en pôles amincit spectaculairement les culasses — le flux par pôle diminue, donc le fer nécessaire pour le refermer aussi. Mais deux contreparties arrivent en sens inverse, et ce sont elles qui fixent la limite.
Les pertes fer
À induction donnée, la part hystérésis croît comme la fréquence et celle des courants de Foucault comme son carré : les pertes par kilo montent donc entre f et f2, et la fréquence suit le nombre de pôles. La réduction du volume de fer ne compense que partiellement.
Le couple réluctant
Il vaut 1,5·p·(Ld − Lq)·id·iq, avec des inductances en 1/p2 : à courants donnés, il décroît donc en 1/p, alors que le couple d'aimant ne dépend pas de p. Un IPM à grand nombre de pôles perd ainsi l'essentiel de sa saillance utile.
Le compromis
4 à 8 pôles pour un IPM. Bien davantage pour un SPM en entraînement direct, où la fréquence reste basse faute de vitesse.
Quelle structure pour quelle enveloppe ?
La taille se calcule ; la structure se choisit. Et ce choix se lit d'abord dans l'enveloppe couple-vitesse demandée, puis dans les contraintes de coût et d'approvisionnement.
SPM — aimants en surface
Quand : plage de vitesse étroite, entraînement direct, exigence de simplicité.
Pas de saillance, donc pas de couple réluctant et un défluxage coûteux. En contrepartie, la construction est simple et le couple parfaitement linéaire en iq. Voir les équations.
IPM — aimants enterrés
Quand : large plage de vitesse, densité de couple décisive. C'est la référence en traction.
Les deux termes de couple coexistent, la saillance aide au défluxage, et les aimants sont mécaniquement retenus. En contrepartie : rotor complexe et dépendance aux terres rares.
SynRM et PMaSynRM
Quand : le coût ou l'approvisionnement en aimants prime.
Sans aimant, il ne reste que la saillance — il faut du courant sur les deux axes et le facteur de puissance chute. L'assistance par quelques aimants (PMaSynRM) restitue l'essentiel du comportement d'un IPM.
Rotor bobiné et asynchrone
Le rotor bobiné revient en force : l'excitation se coupe, donc les pertes à vide s'effondrent sur autoroute et le défluxage devient gratuit. Il demande en revanche un transfert de puissance au rotor. BMW et Renault en produisent en série.
L'asynchrone reste la solution robuste et sans aimant, au prix d'un rendement inférieur à charge partielle — d'où son usage fréquent sur l'essieu secondaire d'une transmission à deux moteurs.
Le critère qui tranche le plus souvent
Le rapport entre la vitesse maximale et la vitesse de base. En dessous de 2, à peu près toutes les topologies conviennent et le choix se fait sur le coût. Au-delà de 3 ou 4, la capacité à défluxer devient dominante, et l'IPM ou le rotor bobiné s'imposent.
La page défluxage montre pourquoi : c'est le rapport entre le courant caractéristique et le courant maximal qui décide si la plage est finie ou non.
Des cotes aux paramètres du modèle
Jusqu'ici nous avons produit une géométrie. Les pages Commande, elles, consomment quatre nombres : λ, Ld, Lq et Rs. Voici le pont — au premier ordre, avec toutes les hypothèses affichées.
Les quatre paramètres, et la courbe qui en découle
La courbe couple-vitesse n'est plus une donnée d'entrée : elle est calculée à partir de la géométrie et du bobinage, avec le modèle dq complet — couple de réluctance, défluxage et résistance compris. Le courant est celui qu'il faut pour tenir le couple demandé jusqu'à la vitesse de base. Les pointillés rappellent le cahier des charges, et les deux points passent au vert s'il est tenu.
Comment on les obtient
Le flux part du fondamental de l'induction d'entrefer, ramené sur un pas polaire puis totalisé par le bobinage :
L'entrefer effectif d'axe direct inclut l'aimant, dont la perméabilité est proche de celle de l'air : geff = g + hm/1,05. C'est ce qui rend Ld petit et crée la saillance.
Le piège classique : comparer la force électromotrice à vide à la tension disponible. En charge, la chute inductive ωeLqiq s'ajoute en quadrature à la force électromotrice, et c'est souvent elle qui domine :
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Les hypothèses, en toutes lettres
Ce calcul suppose : une induction d'entrefer en créneau dont on ne garde que le fondamental ; un entrefer effectif uniforme ; la saillance imposée directement par le rapport Lq/Ld plutôt que calculée depuis la géométrie du rotor ; un cuivre à la température choisie, avec une résistivité de 1,7241·10−8 Ω·m à 20 °C qui croît de 0,393 % par degré ; les encoches occupant 55 % de la couronne ; des têtes de bobines longues d'un pas polaire ; et aucune fuite magnétique. Chacune de ces hypothèses est un choix — elles sont toutes modifiables en haut de page, sauf les trois dernières qui sont figées dans le code.
La plus fragile est la saillance constante. Au courant crête, le fer d'axe q sature et Lq s'effondre : un modèle linéaire surestime alors nettement le couple de réluctance. Appliqué à la Prius avec une saillance de 2,5 et son courant crête estimé (237 à 273 A), il donnerait environ 280 à 350 N·m en MTPA, là où le moteur en fournit 207. Le couple d'aimant seul donne, lui, 178 à 204 N·m.
Le bon réflexe : vérifier la cohérence
Un prédimensionnement qui se tient doit boucler. Deux contrôles immédiats : la densité de courant doit rester compatible avec le refroidissement retenu, et la tension en charge — pas la force électromotrice à vide — doit tenir dans la tension disponible sur toute la plage demandée.
Sur les valeurs par défaut, la densité au courant crête sort vers 13 A/mm². Attention à la comparaison : c'est une valeur crête. La Prius, elle, travaille vers 27 à 31 A/mm² en crête (estimation d'après les essais ORNL). Notre machine est donc large en crête, et c'est le régime continu qui dira si elle est bien taillée — ce que ce calcul ne sait pas faire.
Côté tension, la force électromotrice à vide tombe juste sous la tension disponible, mais en charge le MTPA ne tient pas jusqu'à la vitesse de base : la machine y arrive en défluxant, avec plus de courant. C'est le nombre de spires qui règle ce compromis — moins de spires, moins de tension, mais plus de courant.
Trois vérifications, et ce que la méthode ne fait pas
Thermique
σ n'est pas gratuit : il se paie en charge linéique, donc en densité de courant, donc en refroidissement. Ordres de grandeur en continu (Gai et al., 2019) : 1,5 à 5 A/mm² en convection naturelle, 5 à 10 en air forcé, 7 à 20 avec un liquide qui refroidit la carcasse, 10 à 30 quand il touche directement les conducteurs. Un σ élevé sans le refroidissement qui va avec, c'est un moteur qui brûle.
Mécanique
La vitesse périphérique borne le diamètre : au-delà d'une centaine de mètres par seconde, la tenue des aimants et l'éclatement du rotor deviennent dimensionnants. S'y ajoutent la vitesse critique de l'arbre et la taille des paliers.
Électrique
La force électromotrice croît avec la vitesse et finit par consommer toute la tension. Si la vitesse maximale visée dépasse largement la vitesse de base, il faut défluxer — et vérifier que la machine le supporte.
Ce que le prédimensionnement ne remplace pas
Pas d'éléments finis, donc aucune vérification des saturations locales ni du couple de détente. Pas de cartographie de pertes, donc pas de rendement sur cycle. Pas de modèle thermique, donc pas de vraie limite continue. Pas de coût, pas de fabricabilité. Cette méthode donne le point de départ d'une optimisation — un jeu de cotes cohérent en quelques secondes, à partir duquel un logiciel de conception peut travailler. Elle ne donne pas un moteur.
Pour aller plus loin — pôles et encoches libres, contraintes d'encombrement, régime continu et crête calculés thermiquement, tension vérifiée point par point — voir l'outil de dimensionnement.
